1.12 交流电感

电感通常是一个线圈，当交流电流通过它时，会在其周围产生一个交变磁场。电感是电感器的一种特性，它会阻碍电流的变化，其单位是亨利（Henry）。由于这种电感，当线圈受到交流电流的作用时，会在其中感应出一个反向电动势（back emf）。

根据楞次定律，这个电动势会阻碍电流的变化。因此，施加的电压只需要克服这个反向电动势，因为在电路中不存在电阻。因此，施加的电压和反向电动势应该相等且方向相反，以保持电流在电路中流动。

交流电路中带有电感的行为与直流电路完全不同。在这种情况下，流过线圈的电流不仅取决于电感，还取决于交流电源的频率。下面我们简要讨论带有电感负载的交流电路的行为。

交流电压施加于纯电感

纯电感的线圈绕组没有电阻，只有电感。这种电感特性在所有电机、变压器和发电机中都有体现（尽管线圈中会有一些电阻）。下图展示了一个带有交流电压源的纯电感电路及其相应的波形。

假设施加的电压为 $v = V_m \sin \omega t$。如上所述，感应的电动势与施加的电压相等且方向相反，即 $v = -e$。

其中 $e$ 是反向电动势，且 $e = -L \frac{di}{dt}$。

代入电动势的表达式，我们得到

$v = L \frac{di}{dt}$ $V_m \sin \omega t = L \frac{di}{dt}$ $di = \frac{V_m}{L} \sin \omega t \, dt$

对两边进行积分，我们得到

$i = \frac{V_m}{L} \int \sin \omega t \, dt$ $i = \frac{V_m}{\omega L} (-\cos \omega t)$ $i = \frac{V_m}{\omega L} \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$

当 $\sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ 为1时，流过电路的电流将达到最大值。因此

$i_m = \frac{V_m}{\omega L}$

于是电流方程变为

$i = i_m \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$

其中 $i_m = \frac{V_m}{\omega L}$。

从上述电流和电压的表达式可以看出，电流滞后于电压90°。因此，在纯电感电路中，电流与电压呈正交关系，如上图的波形所示。

这意味着当电流变化最大（电流通过零点时），电感两端感应的电压最大。同样，在电流达到最大值时（此时电流没有变化），电感两端的感应电压为零。

因此，电感两端的电压比流过电感的电流超前1/4周期。纯电感交流电路的相量图如下所示。

电感电抗

从上述推导中，最大电流方程为

$i_m = \frac{V_m}{\omega L}$ $\omega L = \frac{V_m}{i_m}$

这个电压与电流的比值是电感电路对电流流动的阻碍。这个 $\omega L$ 量被称为电感电抗，用 $X_L$ 表示，单位为欧姆。

交流电路中的电感电抗可以表示为

$X_L = \omega L = 2\pi f L$（因为 $\omega = 2\pi f$）

其中 $X_L$ 是电感电抗，单位为欧姆；

$f$ 是电源电压的频率；

$L$ 是线圈的电感，单位为亨利。

上述方程表明，当输入电源的频率增加时，电流变化的速率也会发生变化。因此，电感两端的感应电动势（或反应电压）将增加。

结果是，流过电感的净电流将减少。可以得出结论，电感的电抗与电源频率成线性关系，如下图所示。

电感交流电路中的功率和功率因数

交流电路中的功率是瞬时电压与电流的乘积，可以表示为

$P = v \times i$ $P = V_m \sin \omega t \times I_m \sin (\omega t - 90^\circ)$

在一个周期内进行积分，我们得到

$P = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} V_m \sin \omega t \times I_m \sin (\omega t - 90^\circ) \, d\omega t$ $= \frac{V_m I_m}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin \omega t \times (-\cos \omega t) \, d\omega t$ $= \frac{V_m I_m}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{(-\sin 2\omega t)}{2} \, d\omega t$ $= \frac{V_m I_m}{8\pi} (\cos 4\pi - \cos 0)$ $= \frac{V_m I_m}{8\pi} (1 - 1)$ $P = 0$

纯电感中的平均功率始终为零，因为在半个周期内从电源吸收的能量会在下一个半周期返回给电源。

下图显示了电感交流电路的功率曲线，其中正功率等于负功率，因此一个周期内的总功率为零。这清楚地说明了纯电感不消耗功率。

在这个电路中，电流也是正弦波形，但比电压滞后90°。由于电流滞后于电压90°，相位差 $\theta$ 等于90°。因此，

功率因数 $\cos 90^\circ = 0$。

纯电感电路中的功率因数为零，即纯滞后功率因数。

串联RL电路

我们知道，不存在纯电感的实际电路，因为每个线圈都有一定的绕组电阻和电感。在这种电路中，电阻被视为与电感串联的元件。

考虑下图，其中纯电阻与纯电感串联。这种串联组合连接到一个交流电源上，电压为 $v = V_m \sin \omega t$。

在串联RL电路中，电感两端的电压与流过电路的电流以及电阻两端的电压都不在同一相位，如上图所示。电感中的感应电压会阻碍电流的流动，因此 $V_L$ 超前于电流 $I$ 和电阻上的电压降 $V_R$ 90°。

设 $I$ 为流过电路的电流，$V_L$ 和 $V_R$ 分别为电感和电阻上的电压降。

电阻上的电压 $V_R = IR$；

电感上的电压 $V_L = I \times X_L$（其中 $X_L = 2\pi f L$）。

从上述相量图可以看出，

$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2} = \sqrt{(IR)^2 + (I X_L)^2}$ $= I \sqrt{R^2 + X_L^2} = IZ$

其中 $Z$ 是RL串联电路的阻抗，等于 $\sqrt{R^2 + X_L^2}$。

阻抗三角形

交流电路对正弦电流流动的阻碍称为阻抗。它也可以定义为正弦电压与电流的比值。它用字母 $Z$ 表示，单位为欧姆。

从RL串联相量图可以看出，

$\tan \phi = \frac{V_L}{V_R} = \frac{X_L}{R}$ $\cos \phi = \frac{V_R}{V} = \frac{R}{Z}$ $\sin \phi = \frac{V_L}{V} = \frac{X_L}{Z}$

如果将XL串联电路中得到的三角形的所有边都除以电流，我们得到如图所示的阻抗三角形。从这个三角形可以表示 $R$、$X_L$ 和 $Z$ 分量为：

$R = Z \cos \phi$ $X_L = Z \sin \phi$ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$

并且 $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_L}{R} \right)$

例题

求一个RL串联电路的电流表达式，并计算其功率，该电路的电阻 $R = 50 \ \Omega$，电感 $L = 0.159 \ \text{H}$，施加的电压为 $v = 283 \sin 100\pi t$。

电感电抗 $X_L = 2\pi fL = 100\pi \times 0.159$

$X_L = 49.95 \ \Omega$

阻抗 $Z = R + j X_L = 50 + j49.95$

将其转换为极坐标形式，可得 $Z = 70.675 \ \angle 44.97 \ \Omega$

电流 $i = \frac{v}{Z} = \frac{283 \sin (100\pi t - 44.97^\circ)}{70.675}$

$i = 4 \sin (100\pi t - \frac{\pi}{4}) \ \text{A}$

功率 $P = VI \cos \theta$

$P = \left( \frac{283}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{4}{\sqrt{2}} \right) \cos 44.97^\circ$ $P = 400.43 \ \text{W}$